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资料简介
本文深入浅出地讲解了如何利用构造等差数列和等比数列的方法来求解数列的通项公式。通过具体的例子，如通过变形递推公式求解数列通项，以及利用等差数列和等比数列的性质解决复杂问题，帮助学生更好地理解和掌握这一高考数学中的重要知识点。适合高中学生及教师参考学习。
文件名称：构造法求数列通项公式.pdf
文件类型：PDF文档
文件标签：数列通项公式、构造法、高考数学
内容预览
构造法求数列通项公式
求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列
通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为
(
1)
( )
f n
f n
=A（其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知
)
(n
f
是等差数列，根据
等差数列的通项公式，先求出
)
(n
f
的通项公式，再根据
)
(n
f
与
n
a ，从而求出
n
a 的通项公
式。
例1
在数列{
}
na 中，
1a = 1
2 ，
1
na = 3
3
n
n
a
a （n
N
），求数列{
}
na 通项公式.
解析：由an+1=
3
3
n
n
a
a 得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an得，
n
n
a
a
1
1
1
3
1 ，
设bn=
n
a
1 ，则bn+1- bn= 3
1 ，根据等差数列的定义知，
数列｛bn｝是首相b1=2，公差d= 3
1 的等差数列，
根据等差数列的通项公式得bn=2＋3
1 （n-1）= 3
1 n＋3
5
∴数列通项公式为an=
5
3
n
评析：本例通过变形，将递推公式变形成为
A
a
a
n
n
1
1
1
形式，应用等差数列的通
项公式，先求出
n
a
1 的通项公式，从而求出
n
a 的通项公式。
例2 在数列｛an｝中，Sn是其前n 项和，且Sn≠0，a1=1，an=
1
2
2
2
n
n
S
S (n≥2) ，求Sn与an。
解析：当n≥2 时，an=Sn-Sn-1 代入an=
1
2
2
2
n
n
S
S 得，Sn-Sn-1=
1
2
2
2
n
n
S
S ，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1
两边除以SnSn-1得，
n
S
1 -
1
1
n
S =2，∴｛
n
S
1 ｝是首相为1，公差为2 的等差数列
∴
n
S
1 =1+2（n-1）=2n-1, ∴ Sn=
1
2
1
n (n≥2) , n=1 也适合，∴Sn=
1
2
1
n (n≥1)
当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=
1
2
1
n -
3
2
1
n =-
3
8
4
2
2
n
n
，n=1 不满足此式，
∴an={
2
1
1
3
8
4
2
2
n
n
n
n
评析：本例将所给条件变形成
A
n
f
n
f
)
(
)1
(
，先求出
)
(n
f
的通项公式，再求
出原数列的通项公式，条件变形是难点。
二、构造等比数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）
=Af（n）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知
)
(n
f
是等比数列，根据等比数列
的通项公式，先求出
)
(n
f
的通项公式，再根据
)
(n
f
与
n
a ，从而求出
n
a 的通项公式。
例3 在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2) ，求数列｛an｝通项公式。
解析：∵ a1=2，an=an-12(n≥2) ＞0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1
∴
1
lg
lg
n
n
a
a =2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为lg2，公比为2 的等比数
列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=
1
2
2
lg
n
∴数列通项公式为an=
1
2
2
n
评析：本例通过两边取对数，变形成
1
log
2
log
n
n
a
a
形式，构造等比数列
}
log
n
a ，
先求出
n
a
log
的通项公式，从而求出
n
a 的通项公式。
例4 在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。
解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B 为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，
与已知比较系数得{
1
3
3
3
A
B
A
∴{
3
2
1
B
A
∴an+1+（n+1）+ 3
2 =4（an+n+ 3
2 ），根据等比数列的定义知，
数列｛an+n+ 3
2 ｝是首项为3
8 ，公比为q=3 的等比数列，∴an+n+ 3
2 = 38 ×3n-1
∴数列通项公式为an= 38 ×3n-1-n- 3
2
评析：待定系数法是构造数列的常用方法。
例5 在数列｛an｝中，a1=1 ，an+1an=4n ，求数列｛an｝通项公式。
解析：∵an+1an=4n ∴anan-1=4 n-1 两式相除得
1
1
n
n
a
a
=4 ，
∴a1，a3，a5……与a 2，a 4 ，a 6 ……是首相分别为a1，a 2 ，公比都是4 的等比数列，
又∵a1=1，an+1an=4n ，∴a2=4
∴an={
n
n
n
n
2
2
1
4
4
练习：1 . 已知数列
n
a 满足
3
2
1
a
，
n
n
a
n
n
a
1
1
，求
na
解：由条件知
1
1
n
n
a
a
n
n
，分别令
)1
(,
,3,2,1
n
n
，代入上式得
)1
(
n
个等式累乘
之，即
1
3
4
2
3
1
2
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
1
4
3
3
2
2
1
n
a
an
1
1
又
3
2
1
a
，
n
an
3
2
解：由条件知
1
1
n
n
a
a
n
n
，分别令
)1
(,
,3,2,1
n
n
，代入上式得
)1
(
n
个等式累乘
之，即
1
3
4
2
3
1
2
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
1
4
3
3
2
2
1
n
a
an
1
1
又
3
2
1
a
，
n
an
3
2
2. 数列{a n }满足a 1=1，a n =
2
1 a
1
n +1（n≥2），求数列{a n }的通项公式。
解：由a n =
2
1 a
1
n +1（n≥2）得a n －2=
2
1 （a
1
n －2），而a 1－2=1－2=－1，
∴数列{ a n －2} 是以
2
1 为公比，－1 为首项的等比数列
∴a n －2=－（
2
1 ）
1
n ∴a n =2－（
2
1 ）
1
n
3. 数列
na 中，
n
n
n
a
a
a
a
a
1
2
2
1
2
3,2
,1
，求数列
na 的通项公式。
解：由
n...