高校(理工类)数学第1节解析函数概念教学(课堂讲义).pdf下载分享
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资料简介
本讲义深入探讨了复变函数的导数与微分、解析函数的概念及其应用。通过具体实例，如f(z)=z^2的导数计算和f(z)=x+2yi的可导性分析，帮助学生理解复变函数的基本理论。同时，讲解了导数与连续的关系以及求导法则，为学习者提供了清晰的学习路径。适合理工科大学生及对复变函数感兴趣的读者。
文件名称：高校(理工类)数学第1节解析函数概念教学(课堂讲义).pdf
文件类型：PDF文档
文件标签：复变函数、解析函数、高等数学
内容预览
1、复变函数的导数与微分
2、解析函数的概念
3、小结与思考
§ 2.1 解析函数的概念
1、导数的定义
一、复变函数的导数与微分
[定义] 设函数w=f(z)定义于区域D，z0为D中的一点，
点z0+Δz不出D的范围。如果极限
存在（为有限的复数），那么我们说f(z)在z0可导，
这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作：
0
0
0
( )
(
)
lim
z
z
f z
f z
z
z
1 、导数的定义
即，对于任意给定的ε>0，相应地有（或可以找到）一
个δ(ε)>0，使得当0<|Δz|<δ时。有：
注意：定义中z0+Δz→z0（即Δz→0）的方式是任意的。
如果f(z)在区域D内处处可导，我们就说f(z)在区域D可导。
.
)
(
)
(
,
0
0
0
0
都趋于同一个数
比值
时
内以任意方式趋于
在区域
即
z
z
f
z
z
f
z
D
z
z
导数举例
[例2-1-1] 求f(z)=z2的导数。
[解] 因为
所以
f '(z)=2z
导数举例
[例2-1-2] 问f(z)=x+2yi是否可导？
[解] 这里
设z+Δz沿着平行于x轴的方向趋于z
（如图），因而Δy=0。这时极限为：
x
y
o
z
0
y
设z+Δz沿着平行于y轴的方向趋于z，因而Δx=0。
这时极限
所以f(z)=x+2yi的导数不存在。
[例2-1 -2]
x
y
o
z
0
y
0
x
[例2-1 -2]
[例2-1-2]表明，函数f(z)=x+2yi处处连续却处处
不可导。
问题：函数可导是否函数必定连续？
2、可导与连续
函数 f (z) 在z0 处可导则在 z0 处一定连续，但函
数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导。
[证]
,
0 可导的定义
根据在z
,0
,0
,
|
|
0
时
使得当
z
,
)
(
)
(
)
(
0
0
0
z
f
z
z
f
z
z
f
有
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
z
f
z
z
f
z
z
f
z
令
可导与连续
,0
)
(
lim
0
z
z
则
)
(
)
(
0
0
z
f
z
z
f
因为
,)
(
)
(
lim
0
0
0
z
f
z
z
f
z
所以
.
)
(
0 连续
在
即
z
z
f
[证毕]
,
)
(
)
(
0
z
z
z
z
f
而[例2-1-2]表明，函数f(z)=x+2yi处处连续却处处不可导。
3、求导法则
复变函数中导数的定义与实变函数中导数的定义形
式上是完全相同的，而且复变函数中的极限运算法
则也和实变函数中的一样，因而实变函数中的求导
法则在复变函数中也都完全适用，而且证法也是相
同的。