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资料简介
本资料深入探讨了同角三角函数的基本关系，包括正弦、余弦和正切之间的平方关系和商数关系。通过单位圆上的点坐标定义，结合几何性质，详细解释了这些关系的推导过程及应用实例。适合高中数学学习者和教师参考使用，帮助理解三角函数的核心概念，提高解题能力。
文件名称：(公开课)同角三角函数的基本关系.pdf
文件类型：PDF文档
文件标签：三角函数、高中数学、单位圆
内容预览
一、创设情境：
问题2. 如图1 ，三角函数线是：
正弦线
； 余弦线
； 正切线
.
y
x
x
y
)0
(
x
MP
OM
AT
cos
；
tan
sin
；
问题3. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性
质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？
问题1 . 如图1 ，设 是一个任意角， 它的
终边 与单位圆交于 ，那么
)
,
(
y
x
P
P
O
x
y
M
A
T
2
2
1
MP
OM
2
2
sin
cos
1
知识探究(一)：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点P，那么，正弦
线MP和余弦线OM的长度有什么内在
联系？由此能得到什么结论？
P
O
x
y
M
1 α
( , )
x y
思考2：上述关系反映了角α 的正弦和
余弦之间的内在联系，根据等式的特点，
将它称为平方关系. 那么当角α 的终边
在坐标轴上时，上述关系成立吗？
2
2
sin
cos
1
O
x
y
知识探究(一)：基本关系
(0,1)
P
(0,1)
P
x
y
sin
tan
cos
知识探究(一)：基本关系
思考3：设角α的终边与单位圆交于
点 ，根据三角函数定义，有
由此
可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？
tan
(
0),
y x
x
sin
,y
cos
,x
( , )
P x y
思考4：上述关系称为商数关系，那么商
数关系成立的条件是多么？
(
)
2
k
k
Z
sin
tan
cos
知识探究(一)：基本关系
同一角 的正弦、余弦的平方和等于1 ，
商等于角 的正切
结论：
思考1：对于平方关系
可作哪些变形？
2
2
sin
cos
1
2
2
sin
1
cos
2
2
cos
1
sin
2
sin
1
cos
2
cos
1
sin
知识探究(二)：基本变形
思考2：对于商数关系 可
作哪些变形？
sin
tan
cos
sin
cos
tan
,
a
a
a
=
sin
cos
.
tan
知识探究(二)：基本变形
典例分析
例1、
3 ,
.
5
已知sin
求cos
, tan 的值
16
4
0.
cos
25
5
如果是第三象限角，那么cos
于是
0,sin
1,
解：因为sin
所以是第三或第四象限角.
2
2
2
2
2
3
16
sin
cos
1
cos
1
sin
1
.
5
25
由
得
sin
3
5
3
tan
(
)
(
)
.
cos
5
4
4
从而
4
3
cos
tan
.
5
4
如果是第四象限角，那么
，
分类讨论
的值
，求
、已知
问题
cos
,
sin
3
tan
1
解：
cos
sin
tan
0
tan
为第二或第四象限角
3
cos
sin
1
cos
sin
2
2
{
4
3
sin
4
1
cos
2
2
{
解得：
2
1
4
1
cos
,
2
3
4
3
sin
2
1
4
1
cos
,
2
3
4
3
sin
为第四象限角时
当
为第二象限角时
当
1
cos
sin
2
2
tan
cos
sin
{
方程(组)
思想
tan
3
3、已知 ，求下列式子的值。
2
3 cos
sin
(1)
;
3 cos
sin
(2)2sin
3sin
cos
.
2、化简 。
2
1
sin 440
的值；
求
、已知：
tan
,
sin
,
13
12
cos
1
1
变式