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资料简介
本文深入探讨了线性空间的基本概念，包括零元素的唯一性、负元素的唯一性、线性相关性和线性空间的维数等内容。特别地，文章详细解释了线性子空间的定义、性质及分类，并通过具体例子阐述了子空间的生成、基扩定理以及子空间的交与和的概念。适合数学、物理及相关领域专业人士阅读，帮助加深对线性代数理论的理解。
文件名称：线性空间与子空间.pdf
文件类型：PDF文档
文件标签：线性代数、数学基础、线性空间
内容预览
即 o1 和o2 相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。
②任一元素的负元素也是唯一的。假设
x
V
，存在两个负
元素y和z ，则根据负元律有
x
y
o＝x
z
y
y
o
y
x
z
y
x
z
o
z
z
[零元律] [结合律] [零元律]
即y和z 相同，故负元素唯一。
（2） ①：设w=0x，则 x+w=1 x+0x=(1 +0) x=x，故 w=o。
[恒等律]
②：设w=(－1 ) x，则x+w=1 x+(－1 ) x=[1 +(－1 ) ] x=0x=o，
故w=－x。
3．
线性相关性
线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类
似。
• 线性组合：
1
2
m
1
2
m
x , x
x
V,c ,c
c
K
L
L
m
1
1
2
2
m
m
i
i
i 1
c x
c x
c x
c x
L
@
称为元素组
1
2
m
x , x
x
L
的一个线性组合。
• 线性表示：
V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组
合，则称x 可由该元素组线性表示。
• 线性相关性：如果存在一组不全为零的数
1
2
m
c ,c
c
K
L
，使得
对于元素
1
2
m
x , x
x
V
L
有
m
i
i
i 1
c x
0
则称元素组
1
2
m
x , x
x
L
线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概
念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维
数、基和坐标。
4．
线性空间的维数
定义：线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维
数，记为dimV 。
本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。
例2. 全体m× n 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加
法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。
[解] 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简
单。
11
12
1n
21
22
2n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
n1
n2
nn
c
c
c
c
c
c
y , y
y
x ,x
x
x , x
x
C
c
c
c
L
L
L
L
L
M
M O
M
L
其中C 称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C 是可
逆的。
设
n
x
V
，它在旧基下的线性表示为
1
n
2
i
i
1
2
n
i 1
n
x
x
x , x ,
x
L
M
它在新基下的线性表示为
1
2
i
n
'
'
n
'
i
1
2
n
i 1
'
x
y
y , y ,
y
L
M
则
1
2
n
'
1
'
2
1
2
n
1
2
n
'
n
y , y ,
y
x ,x ,
x
L
L
M
M
由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系
1
2
n
'
1
'
2
'
n
C
M
M
1
2
n
'
1
'
2
1
'
n
C
M
M
补充：证明对于线性空间的零元素o，
k
K
，均有ko＝o。
线性子空间
一、线性子空间的定义及其性质
1 .
定义：设V1 是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V
已有的线性运算满足以下条件
（1 ）
如果x、yV1，则x＋yV1；
（2）
如果xV1，kK，则kxV1，
则称V1 是V 的一个线性子空间或子空间。
2.
性质：（1 ）线性子空间V1 与线性空间V 享有共同的零元素；
（2）V1 中元素的负元素仍在V1 中。
[证明] （1 ）0x 0
1
x
V
V
Q
V 中的零元素也在V1 中，V1 与V 享有共同的零元素。
（2）
1
x
V
（－1 ）x=(－x)
1
V
封闭性
V1 中元素的负元素仍在V1 中
3.
分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间
平凡子空间：{0} 和V 本身
非平凡子空间：除以上两类子空间
4. 生成子空间：设x1、x2、···、xm为V 中的元素，它们的所有线性
组合的集合
m
i
i
i
i 1
k x | k
K,i
1, 2
m
L
也是V 的线性子空间，称为由x1、x2、···、xm生（张）成
的子空间，记为L(x1、x2、···、xm) 或者Span(x1、x2、···、
xm) 。
若x1、x2、···、xm线性无关，则
di m{L(x1、x2、···、xm) } =m
5. 基扩定理：设V1 是数域K 上的线性空间V
n 的一个m 维子空间，x1、
x2、···、xm是V1 的一个基，则这m 个基向量必可扩充为
V
n 的一个基；换言之，在V
n 中必可找到n-m 个元素xm+1、
xm+2、···、xn，使得x1、x2、···、xn 成为V
n 的一个基。这
n-m 个元素必不在V1 中。
二、子空间的交与和
1 . 定义：设V1、V2 是线性空间V 的两个子空间，则
1
2
1
2
V
V
x|x V,x V
1
2
1
2
V V
x y|x V,y V
分别称为V1 和V2 的交与和。
2. 定理：若V1 和V2 是线性空间V 的两个子空间，则
1
2
V
V
，V1＋V2
均为V 的子空间
[证明] （1 ）
1
2
x, y
V
V
I
1
x y V
2
x y V
1
2
x
y
V
V
I
1
2
x
V
V
I
k
K
1
kx
V
2
kx
V
1
2
kx
V
V
I
1
2
V
V
I
是V 的一个线性子空间。
（2）...